坐标系压轴专题

【坐标系压轴专题】

坐标系中的问题，一般出在压轴题，不是压轴题也会有很大的难度，针对此便有了这个专题

【1】坐标系问题的基本运算
实用度：★★★★
如果想要熟练地解坐标系中的问题，先掌握下列的几个重要点（看不清放大看）
 

前三点、最后一点稍难，有口诀：
两点间距离公式：横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方开根号
斜率k：竖直高度比水平宽度
中点坐标公式：横坐标的平均数，纵坐标的平均数
平移函数图像：左增右减，上加下减
【例题1】（原创）难度：★★★★
 

答案：

【2】等腰三角形、直角三角形存在性
基础做起，实用性：★★★
关键词：等腰两圆一线，直角两线一圆
这两点放在一起是为了对比，它们都需要分类讨论。什么叫做两圆一线、两线一圆呢？
举个例子，如图，AB线段一条，在下面那根直线上找P和Q，使得
(1.)△ABP是等腰三角形 (2.)△ABQ是直角三角形


首先(1.)，有三种可能（AB=AP，AB=BP，AP=BP），两圆：以A为圆心，AB为半径画圆，与直线交于P1，还有一个圆是以B为圆心，AB为半径画圆与直线交于P2和P3。最后一线：AB的垂直平分线与直线交于P4，P5（有时不一定5个，视情况而定）


(2.)，同样三种，两线：分别以A、B作AB的垂线分别交直线于Q1，Q2，一圆：以AB为直径作圆，由于直径所对圆周角是直角，所以与直线交点为Q3 Q4（个数视情况而定）


已经找到了，怎么求呢？
等腰的话最暴力的算法就是设出未知点坐标，把三角形三段长都用两点间距离公式表达出来，最后一个一个等起来解方程即可。当然这是无可奈何、形状实在不好找的时候的迫不得已办法，一般他会给你已知两点，在抛物线对称轴上或x轴上或y轴上找，这样就有一些几何特征可以利用。当然暴力算法某些时候也是必须要用的。
直角，两线的好找（k1k2乘积为-1可以，做垂直相似也可以），最后一圆略麻烦，这就要用到模型：一线三等角，做垂直，如图。左右两个三角形相似，然后设线段长，表达，相似比，解方程即可。一般是一元二次方程，所以解出一个另一个就自然知道。
注意：这里是非常规做法，就是妙招，再好算或者你对自己计算有信心的情况下，可以用中点坐标公式得出圆心坐标，再得出半径，设出Q的坐标，用两点间距离公式来做。

【例题】（原创）难度：★★★

答案：

(1.)

(2.)P的坐标为(3,3)或(6,3)或

(3.)

【3】铅直高模型
实用度：★★★★★
平面直角坐标系里，随机的三个点，围成一个三角形，你能求出这个三角形的面积吗？
这种题很容易，简单几个字：水平宽乘铅直高
打个比方，这道题，随便找三个点A、B、C（坐标看网格），求△ABC的面积

好的我们先做辅助线，作CD⊥x轴交AB（或它的延长线）于D，那么不论这个三角形是钝角三角形还是锐角三角形还是直角三角形，它的面积总会等于图上那玩意。
其中，因为CD是作x轴的垂线做出来的，所以叫做铅直高，铅直高与哪个边相交，那么这条边（注意是线段，如图的AB）两个端点的水平距离为水平宽（事实上就是右边端点的横坐标减去左边端点的横坐标），两个的乘积的二分之一就是面积，从图上直观地看出，面积是4
怎么考？
一般让你求一个关于面积的函数解析式，然后求最大值。
怎么求？
水平宽好求，铅直高呢？再如图：

好了，已知抛物线函数表达式，如图，C是AB下方抛物线上的动点，求△ABC面积的最大值。做这种题先作辅助线CD⊥x轴交AB于D，然后设C坐标，因为CD⊥x轴，所以D的横坐标与C的相同。所以CD的长度就有，拿就是纵坐标相减（注意：被减数一定要是位于上方的点的纵坐标。）
这种题近几年考了很多，都快考烂了，所以中考绝不可能出这样常规的题，一定会加以创新。
【例题1】（原创）难度：★★★★
 

答案：

(1.)

(2.)提示：过D作DE的垂线交CE于G，利用竖直高解。

(3.)提示：求平行四边形面积最大值即求△BCD面积最大值，，

(4.)提示：作垂直，用相似。

【4.1】四边形存在性问题——平行四边形
实用度：★★★★
四边形存在性近年来经常考，所以这部分要重视，只是平行四边形考得多了，题型会有创新，因此先打好常规题的基础：一般平行四边形最普通的出题方式如下：
普通法
函数给出，抛物线交直线于A、B，在抛物线和直线上分别找E、F，使得C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形。

这种题十分简单，用上次讲的铅直高表达EF和CD一等起来就是【以EF、CD为对边的平行四边形】注意还没有完，还要讨论对角线的情况，这要取CD中点，设坐标转化，然后代入函数求解。
然后稍微复杂的：作高法
这个讲起来就复杂点了，如图
函数有，B的坐标看网格，在抛物线、x轴上找P、Q，使以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求P、Q的坐标
先讨论AB是边的情况，既然是平行四边形那就先作PQ‖AB，我们知道，当PQ=AB时就是平行四边形。什么时候相等？P到x轴距离和B到x轴的距离相等，如图，作PM⊥x轴，BN⊥x轴，（图上没画）PM=BN=3时，就会有△PQM≌△BAN，这样PQ=AB，就OK。也就是说，P的纵坐标是±3时，因为抛物线有了，解方程即可得到P的坐标，因为全等，AN=QM，所以Q的坐标也有了（？？，0）。另外就是对角线的情况，同样找中点转换。
变式：
万一题目条件不变，Q改成在对称轴或者某常函数上找要怎么办？
事实上是一样的：只是歪了点而已，记住两边都有，别只找到一边不找另一边。
 

【例题】（原创）难度：★★★

答案：

(1.)3

(2.)

(3.)或

【4.2】四边形存在性——菱形与等腰梯形
实用度：★★★
首先从菱形开始说起。事实上，菱形的存在性就相当于变向的找等腰三角形，就是说找菱形就按照找等腰的那个套路找，不必讲太多，充分利用四边相等，且对边平行的性质，还有对角线互相垂直且平分的性质，马上就能找到。
然后等腰梯形有点难搞。好的我们拿镇楼图说话：

原题是我改编的，其中抛物线：y=-x²+2x+3（你会发现这个函数被用烂了）
E是AC上方抛物线上的动点，作ED⊥x轴交AC于D，当四边形DECO为等腰梯形时，求E的坐标。
这种题的话先说常规做法，作EG⊥y轴，DH⊥y轴，利用CG=DH来解，就是拿CO-DE（DE的长度可以表示）再除以2，等于OH来解方程。这样会很麻烦所以= =
妙招解法：
设CO的中点是G，DE的中点是H，当GH⊥y轴时，就是等腰梯形，理由很简单，这个时候GH是垂直平分CO的，由对称性就能秒杀。D、E坐标可表达，其中点H用中点坐标公式表达，表达出H的纵坐标，和G的纵坐标（就是3/2)相等解方程就秒杀。
总结一下，看到有等腰的什么东西可以联想到垂直平分线，就好解了。
 

【例题1】（改编）难度：★★★

【例题2】（原创）难度：★★★★

答案：【1】(1.)抛物线的表达式为，直线的表达式为

(2.)提示：水平宽×铅直高÷2，关键在于哪一段。

(3.)提示：分类讨论，画图求解。或

【2】(1.)①    ②     ③

(2.)提示：过F作FG⊥OA于G，通过△FGA与某一个三角形相似。

(3.)提示：根据对称性做，P是BC与抛物线的交点。

【5】坐标系轴对称综合问题
实用度：★★★★
坐标系中的轴对称是今年考的比较多的问题
关注下面几点：
角相等，边相等的转化
并且还要和相似全等连用，如：
如图，函数有，直线CD下方的抛物线上是否存在A，x轴上存在B，使得A、B关于CD轴对称

【5】坐标系轴对称综合问题
实用度：★★★★
坐标系中的轴对称是今年考的比较多的问题
关注下面几点：
角相等，边相等的转化
并且还要和相似全等连用，如：
如图，函数有，直线CD下方的抛物线上是否存在A，x轴上存在B，使得A、B关于CD轴对称，一题解：

首先第一种解法，我自己的解法

妙解，来自@孤独求解186

（改正一下，AE=8a，非AF=8a）

多种解法，形态不一，不过在这里要记住，因为对称可能带来角平分线，再加上平行的话就很有可能会出现等腰，具体见模型专题。

【例题1】（2014 河南）
 

答案：【1】(1.)

(2.)提示：不要忘了绝对值，

(3.)提示：角平分线+平行=等腰，P坐标为或或

【6】相切圆问题
实用度：★★★★
这种题型不出不知道一出吓一跳，很多人看到圆和抛物线摆在一起就感到绝望了，一堆曲线怎么破？事实上圆只是一个条件的载体，不会考的很深，而相切问题算比较难的了。
例如：没错还是这个函数，在对称轴上找一点E，使得以E为圆心的圆与x轴和直线AB同时相切。


这个E要怎么找？首先按照这个结构来说，是设直线AB与对称轴交于D，设EF的长，然后利用相似（△DEF∽△DCA）得出E的坐标。
虽然照这个模型是这么做的，老师也是这么讲的，但是这样的话要讨论坐标的正负问题。
妙解：
我们知道内心（内切圆圆心）是角平分线交点，做这种题的时候同样可以利用这一点，我们可以求出∠CAB平分线的解析式，再求对称轴交点即可。理论依据就是角平分线上的点到角两边的距离相等。那么现在主要问题是角平分线的解析式怎么求：
在A的右方截取AM=AB，连接BM，取BM中点G，连接AG，直线AG与对称轴交于E
 

等腰三角形三线合一+中点坐标公式搞定
AG函数解析式是个奇怪的东西，无所谓。不过要注意的是这只求出来1个，还有上面一个，按照同样的求法太麻烦，可以用AG⊥AE（两个角平分线的产物）再用个射影定理。

在你觉得计算量不会很大的时候可以用这个，比如说斜边不带根号的时候，或者其他好算的时候。

【例题1】（2015 深圳）难度：★★★

答案：【1】(1.)

(2.)提示：说得太直接，话说我押题押得真准←别说没用的。

(3.)提示：作BC的平行线，要让高是1.5倍。

【7】图像平移问题
实用度：★★★★
平移大家都懂，平移后函数的表达式几个字概括——上加下减，左增右减

即使知道这个口诀，你知道怎么做吗
首先：交点问题，问和直线有几个交点……设出函数表达式，算△（判别式）即可，注意说的是直线还是线段，如是线段的话要多讨论一步。
其次：斜向平移问题。比如说：如图，函数有，A是抛物线顶点且在直线上，将抛物线沿直线平移，A的对应点为B，AB=5时，求平移后抛物线。
事实上是先配顶点式，原抛物线：y=(x+2)²-1，那么就设B(m,1/2m)
所以平移后抛物线y=(x-m)+1/2m，用两点间距离公式秒杀。
所以说斜着平移就要设坐标，配顶点式。
三角函数综合：还用上面那个图，设原抛物线与y轴交于C，则当tan∠BCO=1时，求抛物线解析式。照样设坐标，通过三角函数转换解出B的坐标，于是平移后抛物线解析式就有了。
【例题1】（2014 深圳）难度：★★★★
 

答案：【1】(1.)

(2.)提示：设出顶点坐标，表达F的坐标，作EG⊥y轴，利用射影定理。

(3.)提示：表达面积， 注意需要分类讨论，或或

【8】相似三角形存在性问题
使用度：★★★★
相似三角形近几年来考的貌似比较少，可是这还是很重要的。
一般的相似问题都是直角三角形的相似，这是比较简单的。然后常考的就是钝角三角形的相似，锐角比较少考。
相似问题的关键在于寻找对应关系，合理的分类讨论，如：
函数：y=x²-4x+3，D是顶点，E是x轴上方抛物线上的点，作EF⊥x轴于F，若△EFA与△CBD相似，求E的坐标
 

先设出E的坐标(m,m²-4m+3)，可以知道∠CBD=90°，BC：BD=3:1，分类讨论， EF：AF=1:3、EF：AF=3：1，列方程求出m。别忘了E可以在右边也可以在左边。相似三角形的存在性不难，就是相似比列方程。但要记住一句话：没有相等角的一定不相似，有相等角的却不一定相似。意思是相似三角形的前提是要有相等的角，在这前提下才能用相似

【例题1】（原创）难度：★★★★

答案：【1】(1.)

(2.)①提示：，则要△OFD∽△QOD，记住可用韦达定理简单运算。

②提示：猜测特殊位置，猜P是顶点时，可通过设坐标求证。具体证明略。

【9】等腰直角三角形的存在性
实用度：★★★
一般这种题比较少考，但是貌似作为一个比较基础、而比较有创新意识的题型，不讲不行。
事实上这个很简单：记得我们讲过的弦图吗？这就是要用弦图的。
例如：函数如下，在平面内找一点D，使△ABD是等腰直角三角形。

A的坐标是(-3,0)，B是(0,-1)
做这种题，有等腰直角或正方形的话，首先考虑弦图，故做出弦图。然后设DE=x，推出BC=x，CD=x+1，所以AE=x+1，所以就会有x+x+1=3，x=1所以D的坐标就有了。
是不是很简单？来试试身手！
【例题1】（2014 临沂）难度：★★★
 

答案：【1】(1.)

(2.)提示：很多种求法，吧里也有很多可参考的，可用铅直高做。距离

(3.)提示：同时考察平移、等腰直角三角形。注意平移时CD的长以及相对位置不变。

（即C、D的横坐标、纵坐标相差不变）

【10】角度存在性
实用度：★★★★

角度的存在性比较经典，也是比较新颖的题，不出不知道，一出吓一跳。举个例子：如图，函数已有，在x轴上找一点D，使得∠ACO=∠DCB。求D的坐标

先观察图形，猜测会有两个D，一个在B左侧，一个在右侧，由角度相等证得∠ACD=45°。有45°先联想到弦图，故作等腰直角三角形ACE，EF⊥x轴，则△AEF≌CAO，然后得到E的坐标是(3,1)，因为C的坐标已知，所以直线CE的表达式可以求出，从而得出D的坐标。
另一边的怎么办？这要利用前面求得的D的坐标，观察图形可知CB是角平分线，根据对称性，可以把△BCD1翻折到△BCF的位置，而且F正好在CD2上，以此可以求出F的坐标，然后算直线求出D2的坐标。
这种题要观察周围的等量关系，常常需要借助全等来解决。
【例题1】（改编）难度：
 

答案：【1】(1.)

(2.)提示：根据对称性，可知BE与y轴交点坐标为(0,3)。

(3.)提示：根据计算△得到D的坐标，然后分M在y轴左侧、右侧讨论。或

或

【※1】新型最值问题（注：“※”为补充，原帖中没有）

一种新型的最值问题，用那套模型是否能够搞定呢？

注意：请了解模型专题中的最值问题及第一反应专题中的路径问题再加以了解

换表不换里，所有最值的思想都是一样的。只是这里要绕一些弯路。
【例题1】

虽然你看到“和最小”，却找不到作对称的方法，因为作对称一定要有直线。

遇到这样的题，不妨设B的运动路径为l，由抛物线，以求得B的坐标，
另外便是有一种叫做焦点准线的东西，高中的东西，当然它会给你一个材料理解，具体是什么自行百度。
【例题2】（改编）
(1.)证明用两点距离公式证明。
(2.)连接PC，由(1.)可知h1+h2即为CP+CA，故求CP+CA的最小值，P、C、A共线时最小，最小值为6

【练习1】（原创）
 

答案：【1】(1.)

(2.)①提示：由于平行，△AED、△ADF面积相等。

②提示：设出直线EF的表达式，与抛物线联立得出一个一元二次方程，由韦达定理，得出方程两个解的和为0，故E、F关于G中心对称。详细证明略。

(3.)提示：计算D的运动路径，是一条抛物线，由化曲为直思想，求出PQ即为最小值，

【※2】韦达定理的运用

常有一种题，不直接告诉你要使用韦达定理（即一元二次方程中根与系数的关系）它需要必要的转换。

这种题说难不难，说简单却不简单，它最常用的还是与一线三等角模型结合。上个例题。

【例题1】（原创）

细节专题里的题，我直接拿来用了。重要的是第(2.)题，OE⊥OF，求证G为定点。

一般这种题大胆地去设坐标，大胆地做垂直一线三等角，作相似，做比例。

然后设出EF所在直线的坐标，与抛物线联立得到一个一元二次方程，利用韦达定理，就能搞定。

事实上是不难的，可是有些地方……不多说，上练习你会懂得。

【练习1】（2014 武汉）难度：★★★★★（有史以来觉得很难的一道题。第一个5星

答案：【1】(1.)提示：只要直线不存在值便能求出定点坐标。

(2.)提示：算A、B坐标，水平宽铅直高。或(-2,2)

(3.)提示：太难提示，首先设出A、B、D的坐标（假设D的横坐标为t），然后一线三等角模型，联立方程，韦达定理，比较难算，然后你会得到这个东西，你会认为这个方程解不开，事实上用个求根公式硬算整出来俩根，一个是常数，那么就能求出定点D的坐标，然后再用最值模型，考虑到AB上有一个定点C，那么CD理应是D到直线AB的最大距离。答案为